Przewrócona ósemka


Nieskończoność #1To był największy szok, jakiego doświadczyłem w procesie edukacji. Nauczycielka narysowała kredą oś liczbową. - Liczb jest nieskończenie wiele - powiedziała. - Możemy liczyć do końca życia, a nigdy nie doliczymy do największej, bo taka nie istnieje. - Jak to? - nie potrafiłem opanować oburzenia. - Liczb jest nieskończenie wiele? Nieskończenie? - w matematycznej pracowni powiało mistycyzmem. Na tablicy pojawiła się przewrócona ósemka - symbol nieosiągalnej wieczności.

Potem, w szkolnej ławie, nieraz słuchałem historii, od których jeżył się włos na głowie. Teoria ewolucji, dryf kontynentalny, dualizm korpuskularno-falowy, metoda najmniejszych kwadratów - każda z tych rzeczy była fascynująca, lecz żadna nie potrafiła na nowo wzbudzić dreszczy emocji, jakie towarzyszyły podczas pierwszego spotkania z nieskończonością.

Powyższa historia jest oczywiście zmyślona.

Nie zmienia to jednak faktu, iż nieskończoność zawsze była dla mnie olbrzymią zagadką i nigdy do końca nie potrafiłem pogodzić się z jej istnieniem. Skoro jest ona liczbą, do której nie można doliczyć, to w jaki sposób może istnieć? Jak mogą współistnieć: byt "skończoność", jak i jednocześnie jego negacja - "nie-skończoność". Toż to absurd, stojący w sprzeczności z podstawowymi prawami logiki!

Jak się później okazało, nie jestem osamotniony w wątpliwościach, a wręcz przeciwnie, znajduję się w doborowym towarzystwie.

Po raz pierwszy na trop nieskończoności wpadli matematycy w starożytnej Grecji. Szkoła pitagorejska, bo o niej mowa, traktowała ją nie jako hipotetyczny koniec osi liczbowej, ale bardziej "coś, czemu nie można przypisać żadnej wartości". Jest jakaś różnica? Zasadnicza. Pitagorejczycy natknęli się na nieskończoność ukrytą nie na końcu, ale wewnątrz osi. Myślę o liczbach niewymiernych.

Zanim wyjaśnię o co chodzi, warto wspomnieć pokrótce o samych pitagorejczykach. Podręczniki szkolne są w tym względzie okrutnie lakoniczne i zwykle kończą się na omówieniu twierdzenia o zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie prostokątnym. Nikt nie mówi dzieciom, że Pitagoras wierzył w wędrówkę dusz i przypisywał liczbom niemalże boskie właściwości. Jedynka była "praliczbą", matką wszystką pozostałych. Dwójka symbolizowała opinię, czwórka sprawiedliwość, piątka małżeństwo itd..

Tymczasem pojawiły się fakty, który zniszczyły ten krystalicznie czysty i prosty obraz świata. Na arenę wkroczyły liczby niewymierne, czyli takie, które w rozwinięciu dziesiętnym mają nieskończenie wiele cyfr. Powtórzę: nieskończenie wiele! Zatem wreszcie mamy nieskończoność, przyłapaliśmy ją na gorącym uczynku!

Do tej pory każdą liczbę dało się zapisać za pomocą ułamka w postaci licznika i mianownika. Weźmy jednak pod uwagę trójkąt o boku długości 1 cm i zastanówmy się, jaką długość będzie miała jego przekątna. Z pomocą przychodzi tu oczywiście twierdzenie Pitagorasa i po szybkich rachunkach otrzymujemy wynik: pierwiastek z 2. W porządku, ale co to za odpowiedź? Zapiszmy ją za pomocą ułamka dziesiętnego: 1,414213... Problem w tym, że cyfry możemy wypisywać całą wieczność i nigdy nie dojdziemy do końca, zawsze ktoś może dopisać kolejną. Jest ich nieskończenie wiele (1). Mamy zatem coś, czemu nie można przypisać żadnej wartości, czego nigdy dokładnie nie poznamy. Na obrazie rzeczywistości pojawiła się rysa.

Aby po raz kolejny odsłonić nieznane karty historii Pitagorasa, warto dodać, iż odkrycie liczb niewymiernych było olbrzymim szokiem. Początkowo postanowiono trzymać je w tajemnicy, lecz pojawił się człowiek imieniem Hippazos, który złamał przysięgę dochowania sekretu. Spotkała go za to sroga kara. Są różne wersje tej opowieści, ale najpopularniejsza mówi, że został utopiony przez samego mistrza.

Po raz kolejny nieskończoność na szerokie wody wypłynęła dopiero po zakończeniu średniowiecza, by odegrać niemałą rolę w narodzinach rachunku różniczkowego, znanego również jako "rachunek wielkości nieskończenie małych". Matematykom brakowało jednak odwagi by sięgnąć absolutu i stanąć oko w oko z największą tajemnicą. Zamiast tego wprowadzili pojęcie "nieskończoności potencjalnej" - jak dla mnie nieskończoności zachowawczej, na pół gwizdka, lecz z punktu widzenia nauki niezbędnej. Co to wynalazek?

Nieskończoność #2Nieskończoność potencjalna nie jest mistycznym bytem samym w sobie, ale jedynie możliwością ciągłego powiększania lub pomniejszania danej liczby, techniczną sztuczką umożliwiającą rachowanie granic. Została odkryta przez matematyka Eudaksosa o wiele wcześniej, bo już w IV w p.n.e., lecz jej prawdziwy rozkwit jest nierozerwalnie powiązany z narodzinami rachunku różniczkowego i pojęcia granicy. Zamiast konieczności zaakceptowania istnienia nieskończenie wielkiej liczby, wystarczy nam potencjalna możliwość, bez zbliżania się do absolutu. Z przestworzy stępujemy na ziemię.

W tym miejscu warto wspomnieć o symbolu przewróconej ósemki, powszechnie znanym oznaczeniu nieskończoności. Zwany on jest również lemniskatą i został wprowadzony przez angielskiego matematyka Johna Wallisa w 1655 roku.

A nieskończoność prawdziwa? Wieczność, absolut leżący poza naszym pojęciem. Czy istnieje? Przez długi czas wydawało się, że odpowiedź na to pytanie to bardziej domena filozofii niż obszar zarezerwowany dla ścisłości matematycznego dowodu. Tymczasem w drugiej połowie XIX wieku pojawiła się postać, która odważyła się wyciągnąć rękę i dotknąć serca nieskończoności.

Mowa tu o Georgu Cantorze. Gdybym chciał się zagłębić w szczegóły dotyczące dzieła i tragicznego życia tego niemieckiego matematyka, trzeba by było wiele miejsca. Dlatego też ograniczę się do rzeczy zdecydowanie najważniejszych (zainteresowanych zapraszam do zapoznania się z literaturą).

Wszystko zaczęło się od niepokojącej zależności. Weźmy dwa zbiory: liczb naturalnych i liczb całkowitych. Dla osób, które dawno zakończyły przygodę z matematyką małe przypomnienie: liczby naturalne to: 1,2,3 itd., zaś całkowite to liczby naturalne i ich przeciwieństwa, czyli -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 itd.. Każda liczba naturalna jest całkowita, ale nie każda całkowita jest naturalna. Zbiór liczb całkowitych jest więc szerszy. O ile? Z prostej logiki wynika, że dwa razy większy. Czy aby jednak na pewno?

Spróbujmy połączyć liczby naturalne i całkowite w pary: 

liczby całkowite

 

liczby naturalne

0

-

0

-1

-

1

 1

-

2

-2

-

3

 2

-

4

I tak dalej...

Każdej liczbie całkowitej jest przyporządkowana liczba naturalna i to przyporządkowanie rozciąga się w nieskończoność. Jaki z tego wniosek: jest ich nieskończenie wiele (żadne okrycie) i (uwaga) tyle samo! A to już niepokojące. Choć pozornie wydaje się, że jednych jest dwa razy więcej niż drugich, w rzeczywistości obie nieskończoności są takie same. Bo czyż można mówić o tym, że któraś jest większa? Wszak nieskończenie wiele to nieskończenie wiele. Jeśli dodamy do nieskończoności dowolną liczbę, wciąż będzie to nieskończoność.

Nie zawsze jednak. Okazuje się, że są nieskończoności bardziej liczne od innych. Dowiódł tego Cantor na przykładzie liczb naturalnych / całkowitych (których jak już wiemy jest tyle samo) i rzeczywistych. Okazuje się, że liczb rzeczywistych też jest nieskończenie wiele, lecz jest to nieskończoność większa niż nieskończona ilość liczb całkowitych (2). Mało tego, różnych rodzajów nieskończoności jest nieskończenie wiele i można je uporządkować je w nieskończony rosnący ciąg!

Na samym dole znajduje się nieskończoność najmniejsza, czyli liczebność zbioru liczb naturalnych / całkowitych. Cantor zrezygnował tu z symbolu przewróconej ósemki (jako zbyt niedokładnego) i zdecydował się oznaczyć ją jako alef zero. Alef to pierwsza litera alfabetu hebrajskiego. Hebrajskie słowo Elochim (Bóg) zaczyna się od niej, podobnie jak Echad (jeden). W tradycji żydowskiego mistycyzmu oznacza ona nieskończoną naturę i jedyność Boga. Jak widać, matematyk zdawał sobie sprawę, że igra z niewyobrażalną potęgą.

Jak już zostało powiedziane, nieskończoności tworzą ciąg kolejnych alefów, poczynając od zera. Co jest zatem alefem jeden? Czy jest nim "nieskończoność większa", czyli liczebność zbioru liczb rzeczywistych, oznaczona jako continuum? Czy może pomiędzy nimi znajduje się jakaś inna? Tego Cantor niestety nie wiedział i ostatnie pół życia zmagał się z tą zagadką. Ten jeden z najbardziej fascynujących problemów matematyki (znany jako hipoteza continuum) sprowadzał się do odpowiedzi na pytanie, czy: alef jeden = continuum.

Niestety, problem był tak trudny, że doprowadził wielkiego uczonego do choroby psychicznej i, gdy w 1918 roku umierał on w zakładzie dla obłąkanych, nikt nie znał odpowiedzi.

Pół wieku później okazało się, że Cantor nie rozwiązał tej zagadki, gdyż jej jednoznaczne rozwiązanie nie istnieje. Hipoteza continuum nie zależy bowiem i nie wynika z pozostałych aksjomatów matematyki. Możemy założyć, że jest prawdziwa albo i nie. W żadnym z przypadków nie otrzymamy sprzeczności.

Na tym kończy się nasza przygoda z przewróconą ósemką. Mój dziecięcy sprzeciw został już nieco utemperowany, gdy okazało się, że nie tylko ja miałem olbrzymie problemy, by zrozumieć to pojęcie. Pomimo tego, poszukiwania wciąż trwają, nieskończoność jest obecna w kulturze. Przypomnijmy sobie rzędy cyfr na obrazach Romana Opałki i romantyczne odkrywanie kolejnych cyfr rozwinięcia nieskończonej liczby Pi. Ideą tą zafascynowany był również Jorge Luis Borges, który pisał, że nieskończoność stawia nas przed pewnym rodzajem "bezsensu", utwierdzającego w przekonaniu o braku realności postrzeganego świata.

Literatura:

R. Morris "Krótka historia nieskończoności", CiS, Warszawa 1999
A. Aczel, "Tajemnica alefów", Rebis, Poznań 2002
P. Davis, R. Hersh, E. Marchisotto, "Świat matematyki", PWN, Warszawa 2001
R. Penrose, "Nowy umysł cesarza", PWN, Warszawa 2000

(1) Skąd wiadomo, że pierwiastek z 2 ma nieskończenie wiele cyfr w rozwinięciu dziesiętnym? Jak napisałem wcześniej, do tej pory każdą liczbę dało się zapisać za pomocą ułamka postaci n/m, gdzie n i m to liczby naturalne. Załóżmy zatem, że to możliwe w tym przypadku i zobaczmy co z tego wyniknie. Zatem:

pierwiastek z 2 = n/m

Po prostym przekształceniu mamy:

n2 = 2m2

Załóżmy jeszcze, że ułamek początkowy n/m jest ułamkiem uproszczonym najbardziej jak to możliwe, czyli nie można go już bardziej skrócić. Innymi słowy, liczby m i n nie mają wspólnego dzielnika. Jeśli n jest nieparzyste, to otrzymujemy sprzeczność, bo 2m2 jest liczbą parzystą. Jeśli zaś n jest parzyste, to możemy zapisać je w postaci 2k. Zatem:

n2 = (2k)2 = 4k2

Wracając do pierwszego równania mamy:

m2 = n2/2

Czyli:

m2 = 4k2 / 2 = 2k2

A zatem, jeśli n jest parzyste, to m też jest parzyste, więc mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik: 2. W ten prosty sposób udało nam się otrzymać sprzeczność z wyjściowym założeniem. Okazało się, że pierwiastka z 2 nie da się zapisać za pomocą ułamka n/m, więc liczba ta jest "niewspółmierna" do liczb naturalnych. To przedostatni dowód, obiecuję.

(2) Dla chętnych dowód.

Załóżmy, że jednak liczb naturalnych jest tyle samo, co rzeczywistych i możemy dokonać jednoznacznego przyporządkowania, jak w przypadku liczb naturalnych i całkowitych Dla uproszczenia spróbujmy na początek ponumerować liczbami naturalnymi liczby rzeczywiste leżące na odcinku (1;0). A zatem:

 

liczby naturalne

 

liczby rzeczywiste

 0

-

0,3256478...

 1

 -

0,8745987...

 2

-

0,7452136...

 3

 -

 0,9856474...

Cyfry stojące na przekątnej tablicy liczb rzeczywistych wyróżnione zostały wytłuszczonym drukiem. Stwórzmy teraz liczbę z rzeczywistą, która na początku będzie miała 0, a po przecinku kolejne cyfry z przekątnej:

0,3756...

A teraz każdą z cyfr po przecinku zwiększmy o 1. Mamy zatem:

0,4867...

Jeden rzut oka wystarczy, by stwierdzić, że otrzymana w ten sposób liczba nie może znajdować się na naszej tablicy, gdyż od pierwszej z nich różni się przynajmniej pierwszą cyfrą po przecinku, od drugiej przynajmniej drugą, itd.. Wniosek z tego, iż liczb rzeczywistych nie można ponumerować liczbami naturalnymi, gdyż jest ich nieskończenie więcej.

Od redakcji:

Purystów językowych prosimy o wyrozumiałość. Użycie w tekście wielu powtórzeń jest zamierzone, gdyż w ten sposób odbiór artykułu będzie łatwiejszy. Nieskończoność, liczba i kilka innych wyrazów - matematycy to nie literaci. Nie zastanawiali się nad poprawnością stylistyczną ewentualnych opracowań tematu.




blog comments powered by Disqus