Poszukując wieczności


Które z odkryć w historii nauki jest największe? Ponieważ rankingi są jedną z najchętniej czytanych pozycji w prasie, podobnych zestawień mieliśmy i mieć będziemy bez liku. Jaki wytwór myśli ludzkiej postawić należy wówczas na piedestał? Zdania są podzielone: niektórzy palmę pierwszeństwa przyznają kołu, inni chętniej widzą w tym miejscu komputer lub bombę atomową. Kto bardziej oblatany, wskaże w tym miejscu trzy prawa dynamiki Newtona, teorię względności lub mechanikę kwantową. Idę o zakład, iż tylko niewielu wskaże liczbę.

"Jak to?" - zapyta być może wielu czytelników. "Przecież jest to pojęcie intuicyjnie, każdy się z nim rodzi i nie trzeba go odkrywać".

Pitagoras Tymczasem to wcale nie tak... Choć sobie tego nie uświadamiamy, silnie tkwiąc w kulturze przesiąkniętej matematyką, wynalazek liczby był tym, który chyba najsilniej zmienił oblicze świata. Zrodziło ją myślenie abstrakcyjne. Niegdyś nierozerwalnie silnie związana była z przedmiotami, które opisywała, i dopiero starożytni Grecy dokonali tego gigantycznego postępu, potrafiąc wyabstrahować jej pojęcie z codziennego doświadczenia. Wcześniej mieliśmy trzy kozy, trzy jabłka, troje ludzi, ale nauka narodziła się dopiero w chwili, gdy trójka zaistniała jako wartość sama w sobie. Że był to kolosalny skok jakościowy, nikogo nie trzeba chyba przekonywać. Kto jeszcze ma wątpliwości, niech zwróci uwagę, iż w wielu pierwotnych kulturach do dziś nie została ona do końca "wytworzona". Jeśli mnie pamięć nie myli, u Aborygenów istnieją następujące liczebniki: "jeden", "dwa", "trzy" i "wiele". Nietrudno więc stwierdzić, że w takich warunkach tworzenie matematyki można uznać za cokolwiek problematyczne.

W literaturze SF często kluczową rolę odgrywa pierwszy człon: science. Mamy więc utwory zbudowane w oparciu o alternatywną fizykę, biologię, historię, socjologię, a nawet filozofię. Celem tego artykułu jest znalezienie odpowiedzi na pytanie, dlaczego nie ma dzieł fantastycznonaukowych, opierających się na innej matematyce. Wydawać by się mogło, iż to rozwiązanie najbardziej oczywiste, wszak to ją nazywamy królową nauk.

Nim to jednak zrobimy, spróbujmy zapytać: czym jest matematyka? Nie jest to kwestia łatwa. Wiele matematyków i filozofów przyjmuje w tej kwestii stanowisko, które możemy nazwać "operacyjnym": matematyką jest to, czym zajmują się matematycy. Na przeciwległym biegunie leży pogląd wygłoszony przez głównego bohatera filmu D. Aranofskiego pt. "Pi" - matematyka jest językiem natury. Aby przybliżyć rzeczony punkt widzenia, przytoczę zabawną przypowieść, jaką zamieścił Stanisław Lem w książce "Tajemnica chińskiego pokoju". Wyobraźmy sobie krawca mieszkającego na obcej planecie i zamkniętego w izolowanym pomieszczeniu. Nigdy nie widział mieszkańców owego globu, co jednak nie przeszkadza mu w projektowaniu i przygotowywaniu fantazyjnych strojów. Niektóre nie mają otworów na kończyny, inne zaś przewidują trzy głowy i pięć rąk itd.. Na końcu zaprośmy kosmitów do pracowni mistrza, by wybrać mogli sobie przyodziewek. Ile wynosi szansa, że będzie pasować? Niewiele - to oczywiste. Tymczasem wszystkie ubrania wyglądają, jakby wyszły na miarę.

I jakie tu związki z matematyką? Ano są, i to znaczące. Opisana sytuacja to paralela "niepojętej efektywności w naukach przyrodniczych", jak stwierdził E. Wigner. W przykładzie Lema krawiec jest matematykiem, szyte ubrania to matematyczne teorie, zaś kosmici odpowiadają rzeczywistości. Nad tym problemem od lat łamią sobie głowę myśliciele: dlaczego przyroda zachowuje się w taki sposób, dlaczego zjawiska fizyczne dają się ściśle opisać w języku matematyki? Niech nikt się łudzi, że znajdziemy łatwą odpowiedź.

W tym miejscu warto zrobić jeszcze jedną dygresję i pochylić się nad zagadnieniem relacji matematyki do fizyki. Fizycy zazwyczaj traktują matematykę jako narzędzie służące do opisu badanych zjawisk. W myśl niniejszego poglądu to matematyka jest najpierw, a fizyka rozwija się w oparciu o królową nauk. Czasem jednak ta druga wybiega w przyszłość i eksploruje problemy, na potrzeby których odpowiednie środki opisowe nie zostały jeszcze stworzone. Taki stan rzeczy stawia de facto znak równości pomiędzy tymi naukami, traktując tą pierwszą jako ilościowe odzwierciedlenie praw przyrody.

Cantor Warto postawić pytanie, który zbiór jest szerszy: matematycznych twierdzeń czy fizycznych praw? Innymi słowy, czy istnieje możliwość braku odzwierciedlenia jednych w drugich? Wydaje mi się, iż większość osób (w tym też matematyków) intuicyjnie zgodzi się ze zdaniem, iż są pewne duże obszary "matematyki czystej", czyli nauki dla samej nauki, nie znajdującej żadnego praktycznego zastosowania. Funkcjonuje też pogląd alternatywny: istnieje pełna równowaga i każdy obiekt matematyczny ma swoje ujście w rzeczywistości. Punkt widzenia radykalny, nie ma co ukrywać, i konia z rzędem temu, kto go obroni.

Pytaniami takimi jak powyższe zajmuje się gałąź filozofii zwana filozofią matematyki. Można w niej generalnie wyróżnić wielki spór i cztery stanowiska wokół niego, z których jedno wyraźnie odstaje od pozostałych. Rozchodzi się o to, czy matematykę się odkrywa, czy wymyśla. Nietrudno zgadnąć, że jest to zagadnienie niełatwe (otarliśmy się o nie w poprzednim akapicie, badając wzajemne relacje królowej nauk i fizyki).

Jak już wspomniałem, istnieją cztery podejścia.

Platonizm. Pogląd najsilniejszy, znacznie różniący się od pozostałych. Platonicy są zdania, iż matematyka jest nadana, a wszystkie jej obiekty (proste, funkcje, różniczki, macierze) istnieją realnie, w innym wymiarze, niezależnie od nas. Do rzeczywistości matematycznej mamy wgląd jedynie poprzez intelekt. Możemy rysować tysiące trójkątów na papierze, ale każdy z nich będzie jedynie odbiciem idei prawdziwego trójkąta istniejącej "gdzieś tam", poza czasem i przestrzenią.

Co ciekawe, można go zweryfikować empirycznie. Jak to zrobić? Należy po prostu zapoznać się matematyką nie wytworzoną przez umysł ludzki. W tej chwili jest to niestety niemożliwe. Widzimy zatem, że kontakt z rozwiniętą pozaziemską cywilizacją, oprócz wielu niewątpliwych korzyści, definitywnie rozwiązałby ten spór w filozofii. Jeśli kosmici używaliby wersji "ziemskiej" (naturalnie w zupełnie innej notacji), gdyby istniały tam funkcje, całki i zbiory, wtedy zwyciężyłby właśnie platonizm. Dopóki się tak nie stanie, pozostają nam dywagacje i mętne wywody.

Na marginesie warto wspomnieć, iż platonizm wspiera wielu pisarzy SF. Wymienię tu choćby Carla Sagana i Stanisława Lema z ich powieściami "Kontakt" i "Głos Pana". W obu tych książkach matematyka jest uniwersalnym językiem wszechświata, kodem, za pomocą którego mogą porozumiewać się obce sobie cywilizacje, rozdzielone przepaścią lat świetlnych.

Formalizm. Prąd ten powstał na przełomie XIX i XX wieku jako wynik odkrycia (powinienem napisać wymyślenia) kłopotliwych paradoksów logicznych. W odpowiedzi na zaistniałe wątpliwości David Hilbert zaproponował program, mający na celu wyeliminowanie wszystkich niepewności. Cała matematyka została sprowadzona do manipulacji symbolami zgodnie z określonymi regułami. Królowa nauk nie ma żadnego znaczenia, jest ona logicznie niesprzeczną grą, zabawą w myśl ustalonych uprzednio aksjomatów. Istnieje wyłącznie na papierze. A "niepojęta efektywność matematyki w naukach przyrodniczych"? Dla formalisty to jedynie zbieg okoliczności.

Jak więc widać, pomiędzy platonizmem a formalizmem rozciąga się otchłań. Różnicę w dosadny sposób wytłumaczył Alan Turing na łamach powieści N. Stephensona pt. "Cryptonomicon". Jego zdaniem dyskusja toczy się o to, czy matematyka jest odkrywaniem prawdy (platonizm), czy trzepaniem kapucyna (formalizm).

Konceptualizm. Kolejny nurt antyplatonistyczny. Zdaniem konceptualistów matematykę tworzą ludzie, czyli ściśle warunkuje ją kultura. A ponieważ wyniki są pociągające (także z estetycznego punktu widzenia), naciąga się je do opisu rzeczywistości. W sukurs tej idei idzie filozofia Poppera - nauka jako wieczna falsyfikacja. Nawet w matematyce nie możemy poznać prawdy obiektywnej, a jedyne co da się zrobić, to pracować nad dokładniejszą aproksymacją wyników. Pojęcie "teorii" zastępowane jest przez "model".

Intuicjonizm. Podobnie jak i formalizm powstał jako zamieszanie spowodowane XIX - wieczną rewolucją w teorii mnogości. Intuicjoniści są zdania, iż należy uznać tylko te wielkości, które można skonstruować z liczb naturalnych w skończonej liczbie kroków logicznych. Liczby naturalne, wiadomo, wywodzą się z codziennego doświadczenia i są najbardziej chyba intuicyjnym pojęciem w całej matematyce, choć i one nie są tak proste, jak się może wydawać. Bertrand Russell, bodajże, powiedział, że ilekroć myśli o liczbie 2, doznaje zawrotu głowy.

Tak oto prezentuje się główny front zmagań w zakresie filozofii matematyki. Myślę, że każdy z czytelników odnalazł stanowisko dla siebie. Pora jednak wrócić do kluczowego pytania: dlaczego tak trudno stworzyć matematykę alternatywną?

W tym celu przytoczymy pewną historyczną opowieść. Żyjący 300 lat przed Chrystusem Euklides stworzył podwaliny pod współczesną geometrię (doskonale znaną dziś z podręczników g. euklidesową). W swoim dziele "Elementy" sformułował pięć aksjomatów, które obowiązują do dziś. Cztery pierwsze mają charakter intuicyjny (punkt, linia prosta, okrąg i kąt prosty), o wiele gorzej z piątym. Przytoczmy go dla encyklopedycznego porządku: "Jeśli dwie linie proste leżące na płaszczyźnie są przecięte trzecią i jeśli suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, to te linie proste się spotkają, jeśli je dostatecznie przedłużyć z tej strony, gdzie suma kątów jest mniejsza od dwóch kątów prostych". Uff... Postulat ten, znacznie odstający charakterem od pozostałych, przez wiele wieków spędzał sen z powiek uczonych: czy nie można go pominąć, wywieść z pozostałych, sformułować w inny sposób? Rozwiązanie przyszło dopiero w XIX wieku. Sformułowano alternatywne geometrie, które uznawały cztery pierwsze aksjomaty Euklidesa, a modyfikowały piąty. I tak, w teorii Łobaczewskiego suma kątów w trójkącie jest mniejsza niż 180 stopni, zaś u Riemanna większa. Fantastyka? Nie. Matematyka.

Myślę, że konkluzja tekstu jest jasna. Trudno stworzyć alternatywną matematykę, gdyż "lową nauk mamy tylko jedną. Próbując robić w niej wyłom, jedynie poszarzamy granice. Musimy sprostać wymaganiom jej wewnętrznej spójności i niesprzeczności logicznej, a to zadanie ekstremalnie trudne. Wydaje się być śledzeniem niezmienności w chaotycznej rzeczywistości. Poszukiwaniem wieczności, która - jak to wieczność - jest niepowtarzalna.



Wszystkie cytaty w niniejszym tekście pochodzą z pamięci, która w ostatnim czasie staje się coraz bardziej zawodna. Przede wszystkim liczy się sens wypowiedzi, purystów proszę o wybaczenie nieścisłości.

Na zdjęciach kolejno: Pitagoras, Cantor.




blog comments powered by Disqus