Matematyka i twierdzenia kulinarne


Matematyka zwykle kojarzy się większości ludzi z nudną, trudną, a czasem wręcz niepotrzebną nauką. Ja jednak chciałbym przekonać was, że jest inaczej. Prawa matematyczne mogą być śmieszne. Daje temu przykład Twierdzenie o Kanapce.

Problem ten został postawiony przez Hugo Steinhausa, a dowiódł jego poprawności nasz rodak Stefan Banach. Poniżej przytoczę mniej więcej jego treść:

"Dowolną kromkę z masłem i szynką można przekroić tak, żeby każdy kawałek składał się z takiej samej ilości masła, chleba oraz szynki".

To twierdzenie jest nie tylko żartem matematyków, gdyż powstało w ono wyniku bardziej abstrakcyjnych rozważań. Można je przedstawić w postaci problemu podziału dwóch zbiorów, które za pomocą jednego cięcia dzielimy na dwie równe części. Zobrazuję to za pomocą dwóch położonych na talerzu płaskich naleśników o dziwnych kształtach (nie wszystkie naleśniki są udane), ale za to w jednym kawałku (obszar spójny). Aby zdefiniować cięcie, potrzebny nam jest jego kierunek i zwrot. Na rysunkach poniżej będzie je przedstawiać strzałka.

W celu prostego i przejrzystego wyjaśnienia istoty i prawdziwości tego prawa, na początek rozważmy jeden zbiór.

Kulinaria #1
Widzimy, że skrajne kierunki odcinają 0% i 100% naleśnika. Przesuwając te cięcia równolegle gdzieś w środku musimy napotkać miejsce, w którym naleśnik zostaje podzielony na dwie równe połowy, podobne rozumowanie możemy powtórzyć dla dowolnie obróconej strzałki.

Analogiczne postępujemy dla dwóch naleśników. Wyobraźmy sobie te dwa zbiory i dwa cięcia skierowane pionowo do góry. Obracamy je stopniowo w prawo do momentu aż ich zwroty będą przeciwne z początkowym, czyli przekręcimy je o 1800. Ponieważ cięcie nr 2 znajdowało się na początku po stronie prawej cięcia nr 1, a w końcowym stanie jest ono po jego lewej, to w pewnym momencie musiały one wskazywać jeden kierunek. On właśnie połowi placki w jednym ruchu.

Kulinaria #2
Kulinaria #3
Kulinaria #4

Zauważmy jednak, jak kluczową rolę w tym rozumowaniu odgrywa ciągłość przestrzeni (możemy obrócić kierunek o dowolnie mały kąt). Gdyby tak nie było, podobne przecięcie mogłoby nie istnieć. Drugim ważnym faktem jest intuicyjność takiego rozwiązania, przemawia ona bardziej do wyobraźni niż zapisanie tego w języku matematycznych symboli.

Wspomniany już wcześniej Stefan Banach udowodnił twierdzenie o kanapce korzystając z innego, równie oryginalnego - twierdzenia o antypodach (autorstwa Borsuka-Ulama), które może stanowić niezły problem dla meteorologów. Brzmi ono następująco:

"W każdej chwili czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa punkty leżące dokładnie naprzeciwko siebie, w których temperatura i ciśnienie są identyczne".

Ale to już zupełnie inna historia ...

 



blog comments powered by Disqus