Kilka słów o chaosie i fraktalach

Autor: Krzysztof "K2K" Kanas
Korekta: Greg K1ler
13 lipca 2006

W tym artykule chciałbym przybliżyć Tobie, drogi Czytelniku, ostatnie odkrycia matematyki, jakimi są fraktale i chaos. Wpierw jednak zdefiniujmy sobie omawiane pojęcia, aby nie powstały nieporozumienia - wiele jest matematycznych definicji tych zagadnień.

Chaos - [gr.] (chaos deterministyczny) mat. fiz. termin stosowany na określenie zjawisk polegających na przypadkowym, nieuporządkowanym zachowaniu się układów deterministycznych, tj. podlegających ściśle określonym prawom. Wiąże się z zależnością rozwoju procesów przebiegających w tych układach od warunków początkowych, np. chaotyczne zachowanie się wahadła pobudzanego siłą o częstotliwości innej niż jego własna. Takie własności obserwuje się w układach nieliniowych.

Fraktal - [łac.] mat. figura geometryczna o złożonej strukturze, niebędącej krzywą, powierzchnią ani bryłą w rozumieniu geometrii. Charakteryzuje ją ułamkowy wymiar. Ma swój pierwowzór w świecie fizycznym. Do badań matematycznych wprowadził fraktale w 1975 B. Mandelbrot. Obecnie znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki, m.in. w grafice komputerowej i kompresji.

Te dwie dziedziny badań zawdzięczają wiele rozwojowi komputerów i właśnie dzięki nim powstały, a także jest możliwe ich dokładniejsze badanie.

Każdy dzień przynosi coś innego

Uczeni od czasów Newtona do całkiem niedawna uważali, że znając zasady fizyczne (równania) i warunki początkowe układu są w stanie przewidzieć jego przyszłość. Takie twory fizyczne klasyfikujemy jako deterministyczne. Dziś wiemy już, że istnieją też takie, które się do tych reguł nie stosują, np. fizyka kwantowa, gdzie główną role odgrywa prawdopodobieństwo. Odkryto też klasę układów chaotycznych, w których drobna, fizycznie nie zauważalna przyczynka potrafi kategorycznie zmienić ich sposób zachowania się. Takie właściwości pojawiają się nawet w przypadkach o prostym opisie, o których myślano, że wiadomo już wszystko.

Chaos a pogoda

Najsłynniejszym przykładem, który znalazł odzew wśród matematyków, fizyków, zapoczątkował rozwój tej dziedziny jest model pogody. Został zaproponowany przez Lorentza. Uczony ten posłużył się układem trzech równań różniczkowych nieliniowych pierwszego rzędu, który uprzednio uprościł. W badaniach posługiwał się komputerem, dość ślamazarnym, więc pewnego dnia nie chcąc powtarzać obliczeń od początku wklepał ostatni połowiczny wynik. Bardzo się zdziwił gdyż po tym samym czasie otrzymał coś zupełnie innego. Spowodowane to było tym, że maszyna wykonywała rachunki z dokładnością do sześciu liczb po przecinku, a wypisywanie na kartce - tylko do czterech. Układ ten jest jednym z pierwszych modeli chaosu i nadal pozostaje wiele pytań dotyczących jego zachowania. Tutaj wchodzi w grę tzw. efekt motyla: trzepot skrzydeł owada w Australii może wywołać tornado w Ameryce.

Zanim pokażę uzyskane w tym przypadku obrazy, wypada mi wyjaśnić, co to są atraktory oraz jeszcze jedno pojęcie z nimi związane. A zatem:

  • przestrzeń fazowa (trajektoria fazowa) - rozwiązując równania Lorentza otrzymuje się zależność od czasu, lecz można wyeliminować go z obliczeń i wyniki przedstawić w postaci krzywej w przestrzeni 2 lub 3 wymiarowej (zależnie od ilości niewiadomych - u nas 3D),
  • atraktor lub dziwny atraktor- zbiór na płaszczyźnie fazowej który przyciąga wszystkie trajektorie znajdujące się w jego pobliżu, dziwne; ma skomplikowaną strukturę geometryczną i brak jest jednolitej definicji tego obiektu.

Poniżej przedstawiono kilka modeli Atraktora Lorentza (obrazu trajektorii w płaszczyźnie fazowej).Atraktor Lorenza

Atraktor Lorenza

Atraktor Lorenza

Fraktale

Powstają poprzez zastosowanie prostej reguły bardzo dużą ilość razy (dążącą do nieskończoności). Niektóre z tych zasad są proste i dają ciekawe obrazy jak np. Dywan Sierpińskiego, który tworzymy następująco: kwadrat jednostkowy dzielimy na dziewięć i wyrzucamy środkowy. Postępujemy tak z każdym nowo powstałym kwadratem. Analogiczną konstrukcję można przeprowadzić w 3D.

Niezwykłe kształty można otrzymać stosując trudniejsze metody. Zbiór Mandelbrota/Julii, powstają one przez, np. takie odwzorowanie:
Odwzorowanie
gdzie k>1, k należy do N, c - dowolna liczba ustalona, n - kolejna iteracja, z jest liczbą zespoloną.

Powyższą regułę rozwiązuje oczywiście komputer dla zadanego zbioru wartości startowych, ustalonej odpowiednio dużej liczby iteracji. Jeżeli punkt końcowy należy do zbioru wartości początkowych to jest on rysowany, w innym przypadku zostaje on pominięty.

Tu ważna uwaga: zbiór Mandelbrota jest w zasadzie czarno-biały (punkty należą do zbioru - czerń, nie należą - biel). Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, aby go pokolorować. Robi się to w następujący sposób: zamiast wyboru czy stawiać punkt czy też nie, rysujemy go w kolorze zależnym od liczby punktów mieszczącym się w kole. I tak, jeżeli mieszczą się wszystkie, to stawiamy piksel czarny, gdy 10% wychodzi poza koło - niebieski, gdy 20% - zielony, itd.. Oczywiście, im więcej barw, tym obrazek ciekawszy.

Kilka właściwości fraktali:

  • samopodobieństwo - jeżeli będziemy powiększać obraz w nieskończoność to natrafimy na taki sam jak ten, który powiększaliśmy,
  • symetria - pojawia się często, ale nie jest wyznacznikiem.

A teraz to, na co czekacie - obrazki z najbardziej znanymi formami:

Krzywa von Koha:

Krzywa Van Koha

Trójkąt Sierpińskiego:

Trójkąt Sierpińskiego

Kostka Sierpińskiego (3D wersja dywanu):

Kostka Sierpińskiego (wersja 3D dywanu)

Trzy różne możliwości przedstawienia Zbioru Mandelbrota:

Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota


Pora na dwa piękne zbiory Julii:

Zbiór Julii

Zbiór Julii

I to by było na tyle. W zasobach internetowych można znaleźć nieprzebrane ilości tych niezwykłych tworów matematycznych. Tworów mających na nas coraz większy wpływ. Właściwie to tylko patrzeć jak kompresję JPG lub mp3 zastąpią algorytmy fraktalne. Fascynacja nimi wynika z jednej rzeczy - odnajdujemy w nich nieskończoność wespół z powtarzalnością.



blog comments powered by Disqus